Al final guardando cada valor de las dos bases de datos en QStrings funcionaba:

QString _Telefono = seleccionar2.value(8).toByteArray().constData(); QString _Tecnico_Asignado = seleccionar2.value(0).toByteArray().constData(); QString _Estado_Solicitud = seleccionar2.value(7).toByteArray().constData();

Así podía usar este código sin problema:

QSqlQuery guardar_s; guardar_s.prepare("INSERT INTO Solicitudes_Trabajo (N_Solicitud, Fecha_Emision, Unidad_Hospitalaria," "Codigo_Equipo, Equipo, Marca)" "VALUES (:N_Solicitud, :Fecha_Emision, :Unidad_Hospitalaria, :Codigo_Equipo, :Equipo," ":Marca)"); guardar_s.bindValue(":N_Solicitud", _N_Solicitud); guardar_s.bindValue(":Fecha_Emision", _Fecha_Emision); guardar_s.bindValue(":Unidad_Hospitalaria", _Unidad_Hospitalaria); guardar_s.bindValue(":Codigo_Equipo", _Codigo_Equipo); guardar_s.bindValue(":Equipo", _Equipo); guardar_s.bindValue(":Marca", _Marca);

Insertaba los valores de las dos bases de datos en la base Empresa, pero si usaba este otro con más valores no funcionaba:

QSqlQuery guardar_s; guardar_s.prepare("INSERT INTO Solicitudes_Trabajo (N_Solicitud, Fecha_Emision, Unidad_Hospitalaria, Codigo_Equipo," "Equipo, Marca, Modelo, N_Serie, Localizacion, Unidad_Tecnica, Peticionario, Telefono, " "Descripcion_Solicitud, Tecnico_Asignado, Tipo_Solicitud, Estado_Solicitud) " "VALUES (:N_Solicitud, :Fecha_Emision, :Unidad_Hospitalaria, :Codigo_Equipo, :Equipo, :Marca, :Modelo," ":N_Serie, :Localizacion, :Unidad_Tecnica, :Peticionario, :Telefono, :Descripcion_Solicitud," ":Tecnico_Asignado, :Tipo_Solicitud, :Estado_Solicitud)"); guardar_s.bindValue(":N_Solicitud", _N_Solicitud); guardar_s.bindValue(":Fecha_Emision", _Fecha_Emision); guardar_s.bindValue(":Unidad_Hospitalaria",_Unidad_Hospitalaria); guardar_s.bindValue(":Codigo_Equipo", _Codigo_Equipo); guardar_s.bindValue(":Equipo", _Equipo); guardar_s.bindValue(":Marca", _Marca); guardar_s.bindValue(":Modelo", _Modelo); guardar_s.bindValue(":N_Serie", _N_Serie); guardar_s.bindValue(":Localizacion", _Localizacion); guardar_s.bindValue(":Unidad_Tecnica", _Unidad_Tecnica); guardar_s.bindValue(":Peticionario", _Peticionario); guardar_s.bindValue(":Telefono", _Telefono); guardar_s.bindValue(":Descripcion_Solicitud", _Descripcion_Solicitud); guardar_s.bindValue(":Tecnico_Asignado", _Tecnico_Asignado); guardar_s.bindValue(":Tipo_Solicitud", "a"); guardar_s.bindValue(":Estado_Solicitud", _Estado_Solicitud);

Me daba el error: 12.ERROR: QSqlError("", "Parameter count mismatch", "").

Pensaba que quizás eran demasiados valores para Qt Creator. Pero al final, después de muchas pruebas me dí cuenta que estaba intentando insertar un valor en la columna existente Localización con un INSERT INTO Solicitudes_Trabajo (Localizacion).
Lo explico por si a alguien más le sale ese mismo error que pruebe a revisar todos los campos y columnas en busca de algún pequeño fallo en alguna letra o alguna tilde.

Resuelto.
Intenté muchas cosas para solucionar el problem, algunas incluian la utilización de next() que me faltaba en el código de mi respuesta anterior pero continuaba saliendo el error:

QSqlQuery::value: not positioned on a valid record

Al final creé un nuevo proyecto con una base de atos nuevas y funciona correctamente con este código:

hospital=QSqlDatabase::addDatabase("QSQLITE"); hospital.setDatabaseName("C:/Sqlite3/Hospital.sqlite"); if(hospital.open()){ qDebug()<<"4.Se ha conectado a la base de datos Hospital"; }else{ qDebug()<<"4.ERROR. No se ha conectado a la base de datos Hospital"; } QSqlQuery mostrar; mostrar.prepare("SELECT*FROM Partes WHERE N_Parte=:ID"); mostrar.bindValue(":ID",ui->lineEditN_Parte->text()); if(mostrar.exec()) { qDebug()<<"5.Los datos del parte se han mostrado correctamente"; }else{ qDebug()<<"5.ERROR. Los datos del parte no se han mostrado correctamente"; qDebug()<<"5.ERROR:"<<mostrar.lastError(); } mostrar.next(); ui->tableWidget->setRowCount(15); QStringList Campos; Campos<<"Fecha de Emisión"<<"Unidad Hospitalaria"; ui->tableWidget->setVerticalHeaderLabels(Campos); ui->tableWidget->insertColumn(0); ui->tableWidget->setColumnCount(1); ui->tableWidget->setItem(0, 0, new QTableWidgetItem(mostrar.value(1).toByteArray().constData())); ui->tableWidget->setItem(2, 0, new QTableWidgetItem(mostrar.value(2).toByteArray().constData()));

Así que supongo que el problema estaba en la base de datos anterior, quizás en las columnas, quizás en las filas, quizás en los valores o quizás en el nombre de cada uno de estos elementos.
Lo importante es que el código que adjunto en esta respuesta funciona correctamente, de modo que si alguien tiene un problema parecido espero que esto le ayude.

Muchas gracias!